علومي كه از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تكميل شد، از قرون يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود. فلسفه ي طبيعي توسط كوپرنيك، برونو، كپلر و گاليله به چالش كشيده شد و از آن ميان فيزيك نيوتني بيرون آمد. چون كليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و كنكاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان كنجكاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا كليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيك از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يكي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود كه آن هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد.
در هندسه ي اقليدسي يكسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي كردند. اما اصل پنجم چندان بديهي به نظر نمي رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط، يك خط و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد. برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي توان به عنوان يك قضيه ثابت كرد. در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات “اصل توازي” مبتكر مفهوم عميقي در هندسه شد. در تلاش براي اثبات اين اصل، خيام گزاره هايي را بيان كرد كه كاملا مطابق گزاره هايي بود كه چند قرن بعد توسط واليس و ساكري رياضيدانان اروپايي بيان شد و راه را براي ظهور هندسه هاي نااقليدسي در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولي متفاوت با آن بيان كردند و هندسه هاي نااقليدسي شكل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ي طبيعي رياضيات نيز از انحصار يوناني خارج و در مسيري جديد قرار گرفت و آزاد انديشي در رياضيات آغاز گرديد.
۱-۵ اصطلاحات بنيادي رياضيات
طي قرنهاي متمادي رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه ي خود از قبيل نقطه و خط و عدد را همچون كميت هايي در نظر مي گرفتند كه در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات همواره همه ي كوششهاي را كه براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با شكست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نكته بر رياضيدانان قرن نوزدهم آشكار گرديد كه تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر اصولاً داراي معنايي باشند.
بنابراين، اينكه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است و نه احتياجي به اين بحث هست. يك وقت براتراند راسل گفته بود كه رياضيات موضوعي است كه در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آنچه كه مي گوييم درست است.
دليل آن اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنكه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آنكه بگوييم دو نقطه فقط يك خط را مشخص مي كند، مي توانيم بگوييم دو آلفا يك بتا را مشخص مي كند. با وجود تغييري كه در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا كه دليل هاي درست به شكل نمودار بسته نيستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند.
بنابراين، رياضيات تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتي از معني فرضها يا راست بودن آنها نيست. اين ديدگاه (صوريگرايي) با عقيده ي كهن تري كه رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و كشف هندسه هاي نااقليدسي بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين كشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشت.
۲-۵ اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي
هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شكل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر كشيد.
اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد.
اصل چهارم - همه ي زواياي قائمه با هم مساوي اند.
اصل پنجم - از يك نقطه خارج يك خط، يك خط و و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد.
اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل. بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد كه شايد بتوان آن را به عنوان يك قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج كرد، يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد.
در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئي و … تلاش كردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرنر و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثباط خود به كار مي بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد.
يانوش بويوئي يكي از رياضيدانان جواني بود كه در اين را تلاش مي كرد. پدر وي نيز رياضيداني بود كه سالها در اين اين مسير تلاش كرده بود .
و طي نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش كني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به كام نابودي فرو برده است، التماس مي كنم دانش موازيها را رها كني.
ولي يانوش جوان از اخطار پدير نهرسيد، زيرا كه انديشه ي كاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض كرد نقيض اصل توازي اقليدس، حكم بي معني اي نيست. وي در سال ۱۸۲۳ پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال ۱۸۳۱ اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه اي از آن را براي گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است.
بعدها مشخص شد كه لباچفسكي در سال ۱۸۲۹ كشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئي منتشر كرده است. و بدين ترتيب كشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسكي ثبت گرديد.
